Fecha de recepción 12/12/2024
Fecha de aceptación: 05/02/2025
Pp 31 Pp. 45
ARK: https://n2t.net/ark:/87558/tekhne.28.1.3
Control de sistemas con incertidumbres paramétricas empleando el
análisis de intervalos
Pedro Teppa Garran
1
, Carlos Acosta Farkass
2
pteppa@unimet.edu.ve
1
, carlos.acosta@unimet.edu.ve
2
https://orcid.org/0000-0001-6384-3185
1
https://orcid.org/0009-0004-6906-6339
2
Universidad Metropolitana
1, 2
, Caracas, Venezuela
Control of systems with parametric uncertainties using interval analysis
Resumen
Se propone un método que integra el enfoque algebraico de asignación de polos, el principio del modelo interno y la teoría matemática de
análisis de intervalos para diseñar un controlador robusto de orden fijo que garantiza el seguimiento de una entrada de referencia con error
de estado estacionario nulo y el rechazo asintótico de señales de perturbación para plantas con incertidumbre paramétrica. El modelo
seleccionado para la planta es una función de transferencia intervalo donde se suponen conocidos los extremos de cada intervalo. El diseño
se formula a través de un sistema de ecuaciones lineales intervalo cuya solución se efectúa empleando el programa INTLAB resultando en
un controlador intervalo. El método se aplica en tres casos de interés práctico como son un proceso de flujo de calor, un sistema de tanques
acoplados y un motor de corriente continua de excitación independiente. Las aplicaciones se seleccionaron para considerar diferentes
fuentes de incertidumbre y el desempeño alcanzado en cada caso muestra la eficacia del método propuesto.
Palabras clave: Control robusto, Incertidumbres paramétricas, Análisis de intervalos, Seguimiento, Rechazo a perturbaciones, Naciones
Unidas ODS 9.
Abstract
A method that combines the algebraic pole-assignment approach, the internal model principle, and the mathematical theory of interval
analysis is proposed to design a fixed-order robust controller that guarantees tracking of a reference input with zero steady-state error, and
the asymptotic rejection of perturbation signals for plants with parametric uncertainty. The model selected for the plant is an interval
transfer function where the extremes of each interval are assumed to be known. The design is formulated through a system of interval
linear equations whose solution is carried out using the INTLAB program, obtaining an interval controller. The method is applied in three
cases of practical interest, such as a heat flow process, a coupled tank system, and an independently excited direct current motor. The
applications were selected to consider different sources of uncertainty and the performance achieved in each case shows the effectiveness
of the proposed method.
Keywords: Robust control, Parametric uncertainties, Interval analysis, Tracking, Disturbance rejection, United Nations SDG 9.
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Controlo de sistemas com incertezas paramétricas utilizando análise
intervalar
I. INTRODUCCIÓN
El problema de asignación de polos permite
alcanzar unas especificaciones de desempeño en la
respuesta temporal de la salida controlada de un
sistema de control mediante la adecuada
localización de los polos a lazo cerrado en el plano
complejo [1]. Chu [2] distingue cuatro tipos de
métodos en la resolución de este problema: los
métodos clásicos, los directos, los basados en
ecuaciones matriciales y los de autovalores. Los dos
últimos son ampliamente utilizados en distintas
aplicaciones de control. Los métodos de autovalores
se separan en la asignación de polos por
realimentación de estado y en la asignación de polos
del observador. Como ambos problemas son
duales, solo el caso de la realimentación de estado
se ha trabajado en detalle [3]. En los métodos
matriciales, el problema de asignación de polos se
reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas
lineales como es descrito de manera completa en [4,
5, 6]. La formulación a través de un sistema de
ecuaciones lineales se aprovecha en este trabajo
para resolver el problema de asignación de polos en
una región del plano complejo mientras se asegura
el seguimiento de una entrada de referencia y el
rechazo de una señal de perturbación a través del
diseño de un controlador de orden fijo. Una familia
incierta de modelos lineales de la planta es
empleada para diseñar el controlador. Este modelo
incluye parámetros cuyos valores se desconocen,
pero están acotados en conjuntos compactos y
descritos a través de intervalos cerrados.
Específicamente, se usa un modelo función de
transferencia intervalo [7].
La asignación de polos para sistemas con
incertidumbres paramétricas es un problema de
importancia práctica que ha recibido un interés
considerable. Objetivos como la atenuación de
perturbaciones, la estabilización robusta y la
configuración del lazo abierto (loop shaping) se
suelen expresar como un problema de control
robusto de minimización de una norma
[8]. En
este contexto, se han propuesto distintos métodos
para hacer una minimización
con restricciones
de asignación de polos. Por ejemplo, en [9, 10, 11]
se emplea un enfoque de desigualdades matriciales
lineales y en [12] el uso del control por modo
deslizante. Fuera del marco
, la asignación
robusta de polos también ha sido tratada empleando
los polinomios de Kharitanov [13], el coloreo de
polos [14], las redes neuronales [15], el control
difuso [16,17], el control PID [18] y el modelado a
través de sistemas lineales de parámetros variantes
[19]. Todos estos métodos son de una gran
sofisticación matemática, la fuente de incertidumbre
no siempre es paramétrica y resulta difícil su
aplicación general en la resolución de problemas
prácticos de control.
En este trabajo, se propone una metodología simple
que emplea el enfoque algebraico [4, 5, 6] y el
principio del modelo interno [20, 21] para formular
los problemas de seguimiento de una entrada de
referencia y de rechazo a una señal de perturbación
como un sistema de ecuaciones lineales de la forma
, la matriz corresponde a la planta, el vector
al controlador, y el vector a las especificaciones
de desempeño. Como la planta se supone sujeta a
incertidumbres paramétricas, los elementos de la
Resumo
Um método que combina a abordagem algébrica de atribuição de pólos, o princípio do modelo interno e a teoria matemática da análise
intervalar é proposto para projetar um controlador robusto de ordem fixa que garante o seguimento de uma entrada de referência com erro
de estado estacionário zero, e a rejeição assintótica de sinais de perturbação para plantas com incerteza paramétrica. O modelo selecionado
para a planta é uma função de transferência de intervalo onde os extremos de cada intervalo são considerados conhecidos. O projeto é
formulado através de um sistema de equações lineares intervalares cuja solução é realizada com recurso ao programa INTLAB, obtendo-
se um controlador intervalar. O método é aplicado em três casos de interesse prático, como um processo de fluxo de calor, um sistema de
tanque acoplado e um motor de corrente contínua com excitação independente. As aplicações foram selecionadas considerando diferentes
fontes de incerteza e o desempenho alcançado em cada caso mostra a eficácia do método proposto.
Palavras-chave: Controlo robusto, incertezas paramétricas, análise de intervalo, monitorização de setpoint, rejeição de perturbações,
Nações Unidas ODS 9.
.
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matriz son intervalos cerrados con extremos
conocidos. Las especificaciones se caracterizan
utilizando el principio de garantía de polos
dominantes [22], lo que permite definir
requerimientos para la salida controlada mediante
un sobrepico y un tiempo de establecimiento
deseados. La resolución del sistema de ecuaciones
lineales para obtener el controlador de orden fijo
se realiza empleando la teoría matemática de
intervalos [23, 24]. En [25] pueden apreciarse
diversas aplicaciones de esta teoría que incluyen,
entre otras, la estimación y la robótica. La
metodología propuesta basada en la integración del
enfoque algebraico, el principio del modelo interno y
el análisis de intervalos; se aplica exitosamente a un
experimento de flujo de calor, un sistema de tanques
acoplados y un motor de corriente continua.
Finalmente, los resultados de este trabajo fomentan
la innovación en el control de procesos industriales
mediante la incorporación de elementos de robustez
en el diseño de controladores y de esta manera
contribuir con el ODS 9 de las Naciones Unidas.
Notación: Un intervalo real cerrado se representa
como
donde los extremos
y
son
cantidades reales conocidas. El centro y el radio del
intervalo
se calculan como
y
, respectivamente. Por lo tanto,
y
. Una matriz intervalo
se denota por
, donde
para cada
II. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE
CONTROL
Considere el sistema de control realimentado de la
Fig. 1 con funciones de transferencia y
para la planta y el controlador, respectivamente. La
señal
es la entrada de referencia,
es la salida controlada,
es la señal de control,
es la señal de
perturbación y es la variable independiente de
tiempo.
Figura 1. Sistema de control realimentado.
En este trabajo, la planta está sujeta a
incertidumbres paramétricas. Por lo que se
considera una descripción tipo intervalo de orden
para describir la función de transferencia. Esto es,
(1)
Con polinomios numerador y denominador
(2)
(3)
Donde
,
,
son coeficientes reales tipo intervalo con extremos
conocidos y
.
La siguiente función de transferencia caracteriza al
controlador de orden
(4)
Donde
,
son los polinomios convencionales que describen al
controlador. Una manera de garantizar condiciones
de desempeño para la salida controlada consiste en
fijar las posiciones de los polos de la función de
transferencia a lazo cerrado del sistema de control
de la Fig. 1 [26], dada por
El método de asignación de polos ubica los polos a
lazo en posiciones específicas del plano complejo
mediante la selección de un polinomio deseado a
lazo cerrado definido como
(5)
Con el objeto de resolver para los polinomios y
la ecuación polinómica
(6)
El objetivo de este trabajo es determinar un
controlador que resuelva el siguiente problema.
Problema 1: Para el sistema de control de la Fig. 1
considere que se conoce la función de transferencia
de la planta (1) y un polinomio deseado a lazo
cerrado (5). Determine los polinomios del
controlador (4) que resuelven la ecuación
polinómica (6) de manera que la salida controlada
siga la señal de referencia
y rechace a la
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señal de perturbación cuando los coeficientes
de los polinomios numerador y denominador de la
planta (1) varían en el interior de los intervalos (2) y
(3).
III. PRELIMINARES
Momentáneamente se considera que los polinomios
y ) en (2) y (3) son polinomios
convencionales, esto es, no están sujetos a
incertidumbres paramétricas. En lugar de resolver
directamente la ecuación polinómica (6) para
determinar los polinomios y en (4),
conocidos los polinomios
y , es
posible, al igualar coeficientes en los polinomios
resultantes a ambos lados de la ecuación (6),
resolver el sistema de ecuaciones lineales
(7)
La ecuación (7) se expresa en forma compacta
como
(8)
El vector corresponde a los coeficientes de los
polinomios y
en (4), definido a través de
(9)
Con y el vector se forma con los
coeficientes del polinomio deseado a lazo cerrado
en (5) haciendo
(10)
Con . La matriz
es una
matriz de Sylvester, esto es, una matriz por bandas
dependiente de los coeficientes de los polinomios
y , definidos en (2), (3) y está dada por
(11)
Teorema 1: Dada la matriz (11) formada por los
coeficientes de los polinomios y en (2) y
(3), respectivamente. Los polinomios y
son coprimos (no tienen factores comunes) si y solo
si, el determinante de la matriz es distinto de cero.
Prueba: Se va a probar solamente necesidad, para
el caso de suficiencia basta con revertir los
argumentos. Se asume que los polinomios y
en (2) y (3) no son coprimos. Esto es, existe
una raíz común , tal que
Al eliminar el factor
resulta
Igualando coeficientes a ambos lados de la ecuación
anterior se obtiene
(12)
Donde
y la matriz puede verificarse que tiene la forma de
(11). Es conocido que el sistema de ecuaciones (12)
posee una solución no trivial si el determinante de la
matriz es igual a cero y de esta forma queda
establecido el teorema.
El Teorema 1 es la base para asegurar que la
asignación de polos es posible siempre y cuando se
garanticen ciertas condiciones de grado para los
polinomios involucrados ( y ). Esto se trata en
el resultado siguiente.
Teorema 2: Considere el sistema de control de la
Fig. 1, donde los polinomios de la planta y
se asume que son coprimos. Sea en (5) un
polinomio arbitrario de grado . Entonces,
existen polinomios y en (4), ambos de
grado soluciones de la ecuación (6).
Prueba: Al igualar coeficientes en (6) resulta el
sistema de ecuaciones
Es sencillo comprobar que y como
consecuencia del teorema 1, la matriz es invertible
si y solo si los polinomios y son coprimos.
Por lo que queda establecido el teorema.
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Comentario 1: No hay pérdida de generalidad si los
polinomios
, y se seleccionan como
mónicos [6].
En lo que sigue, se va a modificar el problema de
asignación de polos para incorporar los problemas
de seguimiento de la señal de referencia
y el
rechazo de la perturbación . En la Fig. 1, las
transformadas de Laplace de las señales
y
vienen dadas por las funciones racionales
,
(13)
Estas señales se asumen que son persistentes, lo
que significa que no tienden a cero cuando el tiempo
lo hace hacia infinito. Por lo que los polinomios
denominadores de
y
pueden expresarse
como
,
(14)
Los polinomios
y
tienen sus raíces en el
semiplano complejo izquierdo (SPI). Mientras que
las raíces de los polinomios
y
se
localizan en el semiplano complejo derecho (SPD).
El principio del modelo interno [20, 21] establece que
el modelo del controlador debe replicar los polos
inestables de las señales persistentes que se
desean seguir o rechazar. Por esta razón, el modelo
del controlador (4) se modifica de la manera
siguiente:
(15)
Donde los polinomios y son los mismos
que en (4) y el polinomio se define como el
menor factor común, formado por los factores de los
polinomios
y
en (14). Los polos en el
SPI (polos estables) se excluyen dado que no
afectan a la salida controlada a medida que el
tiempo tiende hacia infinito. De esta manera, todas
las raíces de se localizan sobre el eje
imaginario o tienen partes reales positivas. Así por
ejemplo, si
y
. Se tiene,
y
. Por lo
que,
y
y de esta forma
se calcula
.
Al expresar el controlador (4) en la forma (15), la
ecuación polinómica (6) cambia a
(16)
Donde
(17)
El polinomio
va a tener una forma similar al
polinomio (3) con la única diferencia de que el orden
del polinomio se calcula ahora como
(18)
Y es este valor el que se va a emplear en el Teorema
2 para definir el orden de los polinomios
y
.
IV. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTROL
El siguiente resultado demuestra que un controlador
de la forma (15) puede resolver el Problema 1
formulado en la sección 2. Sin embargo, es en la
próxima sección que se considera un procedimiento
basado en el análisis de intervalos que permite su
síntesis.
Teorema 3: Considere el sistema de control de la
Fig. 1 donde la planta está sujeta a
incertidumbres paramétricas expresadas a través de
los polinomios intervalos (2) y (3). La entrada de
referencia
y la señal de perturbación
vienen dadas por las expresiones que aparecen en
(13), y el polinomio se define como el menor
factor común formado por los factores de los
polinomios
y
en (14). Entonces, si
ninguna raíz del polinomio es un cero de ,
existe un controlador (15) tal que la salida controlada
sigue a
y rechaza a en forma
asintótica y robusta.
Prueba: Si ninguna raíz de es un cero de la
función de transferencia de la planta
entonces
son coprimos.
Por lo que existe un controlador de la forma
tal que el polinomio en la ecuación
permite realizar una asignación arbitraria de polos a
lazo cerrado. Se propone entonces que el
controlador (15) (
) cumple los
objetivos de control.
En lo que sigue, por comodidad en la manipulación
de las expresiones, se suprime la dependencia de la
variable . La salida excitada por viene dada
por
(19)
Como todas los raíces inestables de
se cancelan
a través de en (19), todos los polos de
se
encuentran localizados en el SPI. De esta manera,
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se tiene que
cuando Esto es, la
respuesta excitada por se cancela
asintóticamente a la salida. Luego, se calcula la
salida
excitada por
como
La señal de error en la Fig. 1 se
expresa mediante
(20)
De nuevo, todas las raíces inestables de
se
cancelan con . Por lo que se desprende que
, cuando Hasta ahora se ha probado el
seguimiento de la entrada de referencia y el rechazo
a la señal de perturbación de manera asíntótica. A
partir de (19) y (20) se aprecia que incluso si los
coeficientes de los polinomios
y
varían en el
interior de los intervalos (2) y (3), mientras se
mantenga la condición de estabilidad del sistema de
control a lazo cerrado y las raíces inestables de
y
se cancelen a través de , el sistema continuará
garantizando el seguimiento y el rechazo a la
perturbación. O sea, lo hará de manera robusta.
V. SÍNTESIS DEL CONTROLADOR
Para sintetizar el controlador (15) se supone que se
dispone de un modelo incierto de la planta en
el sistema de control de la Fig. 1 descrito por los
polinomios intervalo
y
(2, 3).
Posteriormente, a partir del conocimiento de la
forma (constante, rampa, etc.) de la entrada de
referencia
y de la señal de perturbación ,
puede calcularse el polinomio . A continuación,
se construye el polinomio intervalo
empleando (17) y se calcula el valor de a través de
(18), valor que permite determinar el orden de los
polinomios del controlador , en (4) y del
polinomio deseado a lazo cerrado que se
emplea en (16). La ecuación polinómica (16) puede
expresarse como un sistema de ecuaciones lineales
intervalo de la forma
(21)
Comentario 2: A pesar que el controlador se definió
inicialmente en (4) sin usar polinomios intervalo. La
solución de un sistema de ecuaciones lineales
intervalo (21) va a proporcionar un resultado
intervalo.
La matriz intervalo
en (21) se construye a
partir de los polinomios inciertos
y
utilizando (11)
(22)
El controlador viene dado por el vector intervalo
(23)
Con respecto a las especificaciones, se va a adoptar
un criterio de garantía de polos dominantes [22]. En
este criterio, los requerimientos en el tiempo de la
salida controlada se especifican mediante un
par de polos conjugados
. Su
dominancia requiere que la relación entre la parte
real de los otros polos y exceda un factor ( se
toma generalmente al menos de 3 a 5 veces). De
esta manera, los demás polos se encuentran
posicionados a la izquierda de la línea vertical
. En este trabajo, el polinomio a lazo cerrado
deseado se expresa como
(24)
El coeficiente de amortiguación y la frecuencia
natural
de los polos dominantes se determinan
en términos del sobrepico
y el tiempo de
establecimiento
deseados haciendo [26].
(25)
Debe subrayarse que en (21) pueden tenerse
especificaciones intervalo o no. En el caso de que
se adopte un polinomio convencional, la ecuación
(21) toma la forma
. Y el vector se
obtiene a partir de los coeficientes de (24),
imponiendo (25). Esto es, se tendrá un vector de la
forma
(26)
Por otro lado, para calcular un vector de
especificaciones intervalo
. En este trabajo, se
define una región en el plano complejo como
y
. Luego, usando
y
en (25), se computa un polinomio
deseado de la forma (24) y sus coeficientes forman
. Repitiendo el
procedimiento con las especificaciones del otro
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extremo
y
resulta el vector
, obteniéndose
(27)
Una vez formulado el sistema de ecuaciones
lineales intervalo (21) con las especificaciones
expresadas como (26) o (27), debe resolverse para
determinar el controlador
.
Desde el artículo inicial de Oetti y Prager [27], el
problema de resolución de un sistema de
ecuaciones lineales intervalo ha recibido una gran
atención. En [28] se presentan un conjunto de
resultados de singularidad para matrices intervalo y
diversas pruebas para verificarla. En [29] se formula
un método de cerradura de las soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales intervalo
sobredeterminado. En [30] se propone un método de
cómputo de la inversa de una matriz intervalo, en
[31] como calcular su determinante empleando la
eliminación de Gauss y en [32] como obtener la
forma canónica de Jordan y sus aplicaciones.
Nirmala y Ganesan [33] proponen un método
iterativo de Jacobi para resolver el sistema de
ecuaciones intervalo y luego, los mismos autores, en
[34], un método basado en las operaciones
elementales de Gauss-Jordan empleando la
aritmética de intervalos.
El conjunto solución de (21) definido como [28]
contiene todos los controladores para los cuales
existe una planta
y un polinomio deseado
de forma que . En este trabajo se va
a resolver (21) empleando la función verifylss
disponible en INTLAB [35]. INTLAB es una librería
de aritmética de intervalo desarrollada en Matlab. La
función verifylss utiliza en una primera etapa de
resolución el método de Krawczyk y si es necesario,
conmuta al método de Neumaier [36].
Dado que el conjunto solución es en general no
convexo [28], muchos métodos de resolución,
incluyendo la función verifylss, buscan una
cerradura interna convexa de . Otro aspecto que
debe tenerse presente es el redondeo. Un intervalo
puede no ser representado en una
computadora si
y
no están en código de
máquina. Esto es, en la computadora,
y
son
usualmente redondeados,
hacia abajo y
hacia
arriba. Con estas dos afirmaciones, lo que se quiere
subrayar es que el intervalo solución
de (21) que
se está obteniendo, contiene otras soluciones
además de las del problema original. Para recuperar
el controlador, los polinomios y de (15)
deben extraerse del vector intervalo (23) computado
a través de la solución de (21). A ese fin, en este
trabajo, se analiza un intervalo reducido del vector
mediante simulaciones. Para obtener este
intervalo reducido se calcula el centro y el radio de
cada intervalo de los elementos del vector
haciendo
,
(28)
Y luego, se toma una franja alrededor de cada centro
de intervalo
de radio
(
.
Resultando un vector intervalo del controlador
reducido
expresado como
(29)
Con extremos en cada intervalo dados por
Inmediatamente, se hacen diversas simulaciones en
el sistema de control de la Fig. 1 empleando
diferentes controladores provenientes del intervalo
(29). Al final de este procedimiento, se seleccionan
unos coeficientes en particular
para implementar el controlador (15) como
(30)
En la Tabla 1, se resumen los pasos necesarios para
obtener el controlador (15).
Tabla 1. Procedimiento de síntesis del controlador
robusto.
Entrada
Modelo intervalo de la planta
y conocimiento de la forma de
la entrada de referencia
y de la señal
de perturbación
(Constante, rampa,
sinusoide, etc.)
Paso 1
En base a la naturaleza de
y de
calcular el polinomio .
Paso 2
Construir el polinomio
y
calcular el valor de
Paso 3
Con la información de los polinomios
inciertos
y
formar la matriz
intervalo
(22)
Paso 4
En base a los requerimientos
o
(2)
calcular el vector intervalo de
especificaciones como (1) o (2)
Paso 5
Computar el controlador intervalo
mediante la
resolución del sistema (1)
o (2)
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usando la función verifylss de
INTLAB.
Paso 6
Determinar el controlador intervalo reducido
especificando una
tolerancia
Salida
Función de transferencia del controlador
expresada en la forma de intervalos
usando
VI. RESULTADOS
En esta sección se van a construir controladores
mediante la metodología propuesta de análisis de
intervalos. Se consideran tres aplicaciones: un
experimento de flujo de calor, un sistema de tanques
acoplados y un motor de corriente continua. Su
selección se basó en que la fuente de la
incertidumbre es diferente en cada uno. En el
experimento de flujo de calor la incertidumbre
proviene de retardos de transporte, en el sistema de
tanques acoplados se origina de dinámicas no
lineales y finalmente, en el motor de corriente
continua, aparece directamente en la tolerancia de
los parámetros del motor.
En todas las aplicaciones se van a considerar
entradas de referencia y señales de perturbación
constantes, esto resulta en que el polinomio en la
ecuación del controlador (15) será en todo momento
(31)
Para cada aplicación se probarán tres controladores
dentro del intervalo reducido (29), que se identifican
con las funciones de transferencia
,
y
. Los coeficientes de los polinomios y
en (15) se obtienen usando
para
,
para
y
para
.
A. Experimento de flujo de calor
El aparato se muestra en la Fig. 2 donde se aprecia
el ducto de fibra de vidrio con los componentes
siguientes: un elemento calentador y un soplador
localizados en un extremo y tres sensores de
temperatura a lo largo del ducto. La salida
controlada corresponde a la temperatura y la señal
de control es el voltaje aplicado al elemento
calentador que se encuentra dentro del rango
V (el voltaje del soplador se mantiene constante).
Se han identificado tres modelos para las
temperaturas de cada sensor [37]. Los mismos
vienen dados por las siguientes funciones de
transferencia.
(32)
(33)
(34)
Se va a utilizar la aproximación de Padé de primer
orden
en las ecuaciones
previas, para aproximar el retardo de transporte. Lo
anterior resulta en
(35)
(36)
(37)
Al determinar las variaciones máximas de los
coeficientes de cada polinomio en los tres modelos
previos. Pueden combinarse en una planta intervalo
dada por
(38)
En la Tabla 2 se muestran los resultados de aplicar
cada paso del procedimiento de síntesis del
controlador robusto de la Tabla 1 al experimento de
flujo de calor.
Tabla 2. Síntesis del controlador robusto para el experimento de flujo de calor.
Entrada
Modelo dado en (38).
Las señales
y se suponen constantes de amplitud incierta.
Paso 1
Paso 2
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Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6
Para
Salida
Figura 2. Proceso de flujo de calor.
De la salida de la Tabla 2 se obtienen los
controladores:
(39)
La Fig. 3 muestra el seguimiento satisfactorio del
perfil de temperatura que se aplica en la entrada de
referencia para los tres controladores (39). Se
selecciona (34) como el modelo del proceso de flujo
de calor para evaluar a los tres controladores, dado
que es el que presenta el mayor retardo de
transporte. Una vez que la temperatura se mantiene
operando en 18 ºC, se aplica una perturbación
constante de 2 ºC en el instante s. Puede
apreciarse que el rechazo se logra en forma
inmediata. En la Fig. 4 se ilustra el cambio en el
voltaje del elemento calefactor que se requiere en
los tres controladores. Los controladores
y
se
encuentran dentro de los límites físicos de voltaje,
no así el controlador
que satura en algunos
instantes.
Figura 3. Temperatura controlada del sensor 3.
B. Sistema de tanques acoplados
El sistema de tanques acoplados consta de una
bomba y dos tanques. Cada tanque dispone de un
sensor de presión para medir el nivel de agua. La
bomba lleva el agua desde un depósito inferior hasta
la parte superior del sistema. Dependiendo de la
configuración de las válvulas de salida, el agua fluye
hacia el tanque superior, el inferior o ambos. Una
configuración se muestra en la Fig. 5, donde la
salida de la bomba se conecta al primer tanque. El
modelo no lineal en variables de estado está dado
por las ecuaciones [38].
(40)
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Figura 4. Voltaje del elemento calefactor.
El vector de estado
se iguala
a los niveles de cada tanque, la señal de control
corresponde al voltaje de entrada aplicado a la
bomba, y la salida controlada se escoge como
el nivel de agua en el segundo tanque. El nivel
máximo en cada tanque es 30 cm, y la señal de
control está restringida al intervalo
Para
construir un modelo lineal paramétrico en la forma
de una función de transferencia intervalo. Se
considera que los niveles de agua en los tanques
varían en el interior de la región rectangular de la
Fig. 6. Si se linealiza (39) en los puntos (A), (B), (C),
y (D) de la Fig. 4, se obtienen las funciones de
transferencia
(41)
(42)
(43)
(44)
Al determinar las variaciones máximas de los
coeficientes de cada polinomio en los cuatro
modelos previos. Pueden combinarse en una planta
intervalo dada por
(45)
La ecuación (45) aproxima al sistema no lineal (40)
en el interior de la región rectangular de la Fig. 4. En
la Tabla 3 se muestran los resultados de aplicar
cada paso del procedimiento de síntesis del
controlador robusto de la Tabla 1 al sistema de
tanques acoplados. De la salida de la Tabla 3 se
obtienen los controladores:
(46)
Figura 5. Configuración estándar del sistema de
tanques
En la Fig. 7 se aprecia la evolución del nivel de agua
en el segundo tanque para una entrada de
referencia que cambia en forma escalonada en
varios instantes, para el modelo no lineal del sistema
de tanques acoplados (40) cuando se aplican los
controladores (46). El seguimiento de la entrada de
referencia es muy satisfactorio y se encuentra
dentro de las especificaciones de desempeño
deseadas para cualquiera de los controladores. Si
bien, el controlador
tiende a producir la respuesta
más rápida. En la misma figura, una vez que el nivel
del tanque se ha estabilizado en 10 cm, se aplica
una señal de perturbación de cm en el instante
s. Puede observarse que los tres
controladores rechazan la perturbación. En la Fig. 8
se ilustra el esfuerzo de control requerido en el
voltaje de la bomba de alimentación. El controlador
exhibe los mayores cambios, evidenciando que
el comportamiento más rápido en el seguimiento, se
logra a expensas de mayores voltajes.
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Tabla 3. Síntesis del controlador robusto para el sistema de tanques acoplados.
Entrada
Modelo dado en (45).
Las señales
y se suponen constantes de amplitud incierta.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6
Para
Salida
Figura 6. Región de variación de los niveles de
agua en el sistema de tanques
Figura 7. Control del nivel de agua en el segundo
tanque.
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Figura 8. Cambio en el voltaje de la bomba.
C. Motor de corriente continua
Se considera el modelo matemático de un motor de
corriente continua de excitación independiente
descrito por la función de transferencia
(47)
La señal de control es el voltaje aplicado al circuito
de armadura (V) y la salida controlada es la
velocidad angular (
). La descripción de los
parámetros, sus valores nominales y tolerancias se
describen en la Tabla 4 [39]. Para obtener un modelo
función de transferencia intervalo del motor, se
reemplazan los valores nominales y se consideran
las tolerancias en (47). También deben aplicarse las
operaciones aritméticas siguientes para los
intervalos
y
[36].
(48)
La función de transferencia intervalo del motor viene dada por:
(49)
En la Tabla 5 se muestran los resultados de aplicar
cada paso del procedimiento de síntesis del
controlador robusto de la Tabla 1 al motor de
corriente continua.
Tabla 4. Descripción de los parámetros del motor de corriente continua.
Parámetro
Descripción
Valor nominal
Tolerancia
Resistencia de armadura
7 %
Coeficiente de fricción viscosa
20 %
Inductancia de armadura
15 %
Inercia del motor
10 %
,
Constantes de torque y del motor
6 %
Tabla 5. Síntesis del controlador robusto para el motor de corriente continua.
Entrada
Modelo dado en (49).
Las señales
y se suponen constantes de amplitud incierta.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
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Paso 4
Paso 5
Paso 6
Para
Salida
Para la simulación del sistema de control del motor
de corriente continua se empleará solamente el
controlador central
obtenido a partir de la
salida de la Tabla 5. Como modelo del motor se
emplearán las funciones de transferencia
,
y
calculadas a partir de (49). La fig. 9
muestra el resultado del seguimiento de una entrada
de referencia constante de valor
. Lo
que equivale aproximadamente a 1800 RPM. El
controlador central funciona de manera muy similar
para las tres variaciones consideradas en el modelo
del motor. También puede apreciarse el rechazo a
una señal de perturbación de
aplicada
en el instante s.
A su vez, la Fig. 10 ilustra la señal de control. El
voltaje aplicado al motor. Puede apreciarse que en
este caso hay ciertas diferencias pero todas ellas
dentro de las limitaciones físicas del motor.
Figura 9. Control de velocidad del motor.
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Figura 10. Voltaje aplicado al motor.
VII. CONCLUSIONES
Inicialmente el problema clásico de resolución de la
ecuación polinómica de asignación de polos
para determinar los
polinomios del controlador y , dados el polinomio
de especificaciones y los polinomios de la planta
y se transforma en un sistema de ecuaciones
lineales donde la matriz es una matriz de
Sylvester construida a partir de los coeficientes de
los polinomios y de la planta, el vector está
asociado a las especificaciones de diseño y el vector
a los coeficientes de los polinomios y a ser
determinados para el controlador. Se demuestra que
dados y , existe un controlador si y solo si los
polinomios y son coprimos y se verifican las
condiciones y
Usando: (i) la condición de persistencia en la
entrada de referencia
y la perturbación del
principio del modelo interno y, (ii) localizando los
polos deseados a lazo cerrado en el SPI, se
demuestra que un controlador de la forma
con el menor factor común de los factores de los
polos inestables de
y , logra el
seguimiento asintótico con error de estacionario nulo
de la entrada de referencia y el rechazo asintótico
de la perturbación. Se demuestra igualmente que el
seguimiento y el rechazo se alcanzan también de
forma robusta. Esto es, cuando los coeficientes de
los polinomios y varían en intervalos cerrados
reales con cotas conocidas.
El controlador robusto de orden fijo de la forma
se sintetiza a través de la resolución de un
sistema de ecuaciones lineales intervalo utilizando
el programa INTLAB. Mediante las simulaciones
efectuadas en MATLAB/Simulink sobre distintos
sistemas de interés práctico se validó el método de
diseño propuesto, logrando un control efectivo bajo
distintas condiciones de seguimiento y rechazo a
perturbaciones y manteniendo un comportamiento
satisfactorio en la señal de control.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen el apoyo brindado por el
Programa de Investigación de la Universidad
Metropolitana en Venezuela a través del proyecto
PI-B-02-24-25.
REFERENCIAS
[1] Shumafov, M.M., (2019). Stabilization of Linear
Control Systems and Pole Assignment
Problem: A Survey. Vestnik St.Petersb.
Univ.Math. 52, pp. 349–367.
[2] Chu, E.K., (2001). Optimization and pole
assignment in control system design.
International Journal of Applied Mathematics
and Computer Science, 11(5), pp. 1035-1053
[3] Ackermann, J. E. (2009). Pole placement
control. Control System, Robotics and
Automation, 8(2011), 74-101.
[4] Chen, C.T., (1987). Introduction to the linear
algebraic method for control system design.
IEEE Control Systems Magazine, 7(5), pp. 36-
42.
[5] Chen, C., (1999). Linear System: Theory and
Design. Oxford University Press.
[6] Åström, K. J., Wittenmark, B. (2013).
Computer-controlled systems: theory and
design. Courier Corporation.
[7] Tu, Y. W., Ho, M. T. (2011). Robust second-
order controller synthesis for model matching of
interval plants and its application to servo motor
control. IEEE Transactions on Control Systems
Technology, 20(2), 530-537.
[8] Francis, B. A. (Ed.). (1987). A course in H∞
control theory. Berlin, Heidelberg: Springer
Berlin Heidelberg.
[9] Chilali, M., & Gahinet, P. (1996).
design
with pole placement constraints: an lmi
approach. IEEE Transactions on automatic
control, 41(3), 358-367.
[10] Badran, S. M., & Emam, A. S. (2012, May). H-
infinity and Mixed H2/H-infinity with Pole-
Placement Design via ILMI Method for Semi-
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https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_ES
https://revistasenlinea.saber.ucab.edu.ve/index.php/tekhne/index
active Suspension System. In 2012 Sixth Asia
Modelling Symposium (pp. 150-155). IEEE.
[11] Benyamina, M., Bouhamida, M., Denai, M., &
Taleb, R. (2018). Modeling and Control of a
UPFC System Using Pole-Placement and Hinf
Robust Control Techniques. International
Journal of Engineering and Technology (IJET).
[12] Wajdi, S., Anis, S., & Garcia, G. (2015). Robust
sliding mode control approach for systems
affected by unmatched uncertainties using H∞
with pole clustering constraints. Optimal Control
Applications and Methods, 36(6), 919-935
[13] Barmish, B. R., & Jury, E. I. (1994). New tools
for robustness of linear systems. IEEE
Transactions on Automatic Control, 39(12),
2525-2525.
[14] Soylemez, M. T., & Munro, N. (1997). Robust
pole assignment in uncertain systems. IEE
Proceedings-Control Theory and Applications,
144(3), 217-224.
[15] Le, X., & Wang, J. (2013). Robust pole
assignment for synthesizing feedback control
systems using recurrent neural networks. IEEE
transactions on neural networks and learning
systems, 25(2), 383-393.
[16] Soliman, H. M., & El Metwally, K. A. (2017).
Robust pole placement for power systems
using twodimensional membership fuzzy
constrained controllers. IET Generation,
Transmission & Distribution, 11(16), 3966-
3973.
[17] Chang, W. J., Lin, Y. H., Du, J., & Chang, C. M.
(2019). Fuzzy control with pole assignment and
variance constraints for continuous-time
perturbed Takagi-Sugeno fuzzy models:
Application to ship steering systems.
International Journal of Control, Automation
and Systems, 17(10), 2677-2692.
[18] Dincel, E., & Söylemez, M. T. (2022). Robust
PID controller design via dominant pole
assignment for systems with parametric
uncertainties. Asian Journal of Control, 24(2),
834-844.
[19] Kazemi, M. H., & Tarighi, R. (2024). PID-based
attitude control of quadrotor using robust pole
assignment and LPV modeling. International
Journal of Dynamics and Control, 1-13.
[20] Francis, B. A., Wonham, W. M. (1976). The
internal model principle of control theory.
Automatica, 12(5), 457-465.
[21] Hedberg, E., Löfberg, J., Helmersson, A.
(2020). A pedagogical path from the internal
model principle to Youla-Kučera
parametrization. IFAC-PapersOnLine, 53(2),
17374-17379.
[22] Persson, P., Åström, K. (1992) Dominant pole
design a unified view of PID controller tuning,
IFAC Proceedings Volumes, 25(14), 377-382.
[23] Moore, R. E., Kearfott, R. B., & Cloud, M. J.
(2009). Introduction to interval analysis. Society
for Industrial and Applied Mathematics.
[24] Alefeld, G., & Herzberger, J. (2012).
Introduction to interval computation. Academic
press.
[25] Jaulin, L., Kieffer, M., Didrit, O., Walter, E.,
Jaulin, L., Kieffer, M., & Walter, É. (2001).
Interval analysis . Springer London.
[26] Dorf, R., Bishop, R., (2017). Modern control
systems. Pearson Prentice Hall.
[27] Oettli, W., & Prager, W. (1964). Compatibility of
approximate solution of linear equations with
given error bounds for coefficients and right-
hand sides. Numerische Mathematik, 6, 405-
409.
[28] Rohn, J. (1989). Systems of linear interval
equations. Linear algebra and its applications,
126, 39-78.
[29] Rohn, J. (1996). Enclosing solutions of
overdetermined systems of linear interval
equations. Reliab. Comput., 2(2), 167-171.
[30] Nirmala, T., Datta, D., Kushwaha, H. S., &
Ganesan, K. (2011). Inverse interval matrix: A
new approach. Applied Mathematical Sciences,
5(13), 607-624.
[31] Nirmala, T., Datta, D., Kushwaha, H. S., &
Ganesan, K. (2013). The determinant of an
interval matrix using Gaussian elimination
method. International Journal of Pure and
Applied Mathematics, 88(1), 15-34.
[32] Surya, S. H., Nirmala, T., & Ganesan, K. (2023).
Jordan canonical form of interval matrices and
Revista TEKHNÉ Nº 28.1
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para cualquier uso no-comercial otorgando el reconocimiento respectivo al autor.
HYPERLINK "https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_ES"
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_ES
https://revistasenlinea.saber.ucab.edu.ve/index.php/tekhne/index
applications. Aust. J. Math. Anal. Appl. 20(2),
17pp.
[33] Nirmala, T., & Ganesan, K. (2019, June).
Solution of interval linear system of equations-
an iterative approach. In The 11th National
Conference on Mathematical Techniques and
Applications (Vol. 2112, No. 1, p. 020105).
[34] Nirmala, T., & Ganesan, K. (2021, April).
Solving system of interval linear equations by
Gauss Jordon method using generalized
interval arithmetic. In IOP Conference Series:
Materials Science and Engineering (Vol. 1130,
No. 1, p. 012052). IOP Publishing.
[35] Rump, S. M. (1999). INTLAB—interval
laboratory. In Developments in reliable
computing. Dordrecht: Springer Netherlands.
[36] Hargreaves, G. I. (2002). Interval analysis in
MATLAB. Numerical Algorithms, (2009.1).
[37] Al-Saggaf, U., Mehedi, I., Bettayeb, M., and
Mansouri, R. (2016). Fractional-order controller
design for a heat flow process. Proceedings of
the Institution of Mechanical Engineers, Part I:
Journal of Systems and Control Engineering,
230(7), 680-691.
[38] Teppa-Garran, P. y El Gharib, G. (2024).
Computer-assisted optimal tuning of PI
controllers for nonlinear systems with amplitude
constraints on the actuator. Ciencia e
Ingeniería. 45(1), 1-10.
[39] Peralta, A. M., Bautista, J. D. M., de Souza, R.
U., & Arboleda, T. J. O. (2020). Modelación de
Motor/generador de corriente continua
conexión independiente con
MATLAB/SIMULINK. Dominio de las Ciencias,
6(5), 361-377.
