[




]
(12)
[
[ ]
[ ]

]
[ ]




El vector de ganancia es a es
(13)
.
Si
bien

las

restricciones

LMI

del

problema
anterior
son

complejas

de

resolver

y

muy
exigentes
computacionalmente.

Hoy

en

día,
se
disponen

de

aplicaciones

que

permiten
obtener
con

facilidad

una

solución

numérica
del
problema.

Por

ejemplo,

utilizando

el
Toolbox
LMI

de

Matlab

[39],

también

dentro
de
Matlab,

el

Toolbox

YALMIP

[40]

o

el
software libre Scilab de origen francés [41].
Figura 3. Región LMI para localizar los polos
a lazo cerrado.
Fuente: Elaboración propia
Al
aplicar

el

teorema

1

al

sistema

(10),

se
obtiene la ley de control de la ecuación (14).
La
misma

garantiza

la

localización

de

los
autovalores
de

la

matriz

a

lazo

cerrado

en el interior de la región LMI de
la Fig. 3 y el seguimiento asintótico con error
de
estacionario

cero

de

cualquier

señal

de
referencia t a tipo escalón.
̇

(14)
Expresando
el

vector

de

ganancia

obtenido
en
(14)

como


[ ⏟


]


ecuación
resulta

la
̇
[

] [

]
̇
(15)
Integrando
en

el tiempo (15)

origina

la

señal
de control





(16)
Los
resultados

anteriores

se

resumen

en

el
teorema si a siguiente.
Teorema
2:

Dado

el

sistema

de

tanques
acoplados
(3)

con

incertidumbre

en

los
niveles de los tanques dentro del intervalo (4),
entonces
la

ley

de

control

(16)

puede
calcularse a través de las ganancias
y
de manera que la salida controlada
siga
robusta y asintóticamente con error de estado
estacionario
nulo,

cualquier

entrada

de
referencia

tipo

escalón

localizando

los
polos
a

lazo

cerrado

del

sistema

(10)

en

el
interior de la región LMI de la Fig. 3.
En la tabla 2 se incluye un algoritmo sencillo
que
destaca

los

pasos

que

deben
completarse para diseñar el controlador y en
la
Fig.

4

se

ilustra

la

implementación

del
sistema
de

control

para

el

seguimiento
robusto
de

una

entrada

de

referencia

tipo
escalón
en

el

nivel

de

agua

del

sistema

de
tanques acoplados.
Tabla
2.

Algoritmo

para

diseñar

un

controlador

que
garantice el seguimiento robusto del nivel de líquido en
un sistema de tanques acoplados.
Input
Modelo matemático del sistema de
tanques
(3)

y

rango

de

variación
de los ni os niveles de es de líquido (4)
Paso 1 o 1
Construir
el

modelo

politópico

del
sistema de tanques (5) y (6)
Paso 2 o 2
Definir los parámetros de la región
LMI
Paso 3 o 3
Computar
el

vector

de

ganancia