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]
D. Planteamiento del o del problema
Dado el sistema de tanques acoplado descrito
por (3) con variaciones en el nivel de líquido
en
los

tanques

dentro

del

intervalo

(4).
Determine la señal de control
de manera
que
el

nivel

del

tanque


siga

robusta

y
asintóticamente
con

un

error

de

estado
estacionario
nulo

a

una

señal

de

referencia
predefinida.
iii. SOLUCIÓN DEL PR L PROBLEMA
Un resultado conocido de la teoría de control
es
el

principio

del

modelo

interno

[34].

El
mismo
establece

que

para

garantizar

el
seguimiento
de

señales

de

referencia

y

el
rechazo a perturbaciones externas, el modelo
del
controlador

en

un

sistema

realimentado
debe
poseer

un

duplicado

de

la
representación
dinámica

de

las

señales

de
referencia y de perturbación. En esta sección,
se va a resolver el problema planteado en la
sección
anterior,

aumentando

el

modelo
politópico
del

sistema

de

tanques

(5)

y

(6)
mediante
un

modelo

interno

de

la

señal

de
referencia
seleccionada.

Luego,

utilizando
desigualdades
matriciales

lineales,

se

diseña
un
controlador

que

asegure

el

seguimiento
robusto
de

una

señal

de

referencia
predefinida
y

ciertas

especificaciones

en

la
respuesta transitoria a a a lazo cer o cerrado.
A. Seguimiento robusto de una referencia tipo
escalón
Sea el error de seguimiento

(7)
Para
una

entrada

de

referencia

tipo
escalón,
al

calcular

la

derivada

temporal

en
(7)
y empleando la ecuación de salida de (5)
resulta
̇
̇
(8)
Computando ahora la derivada temporal de la
ecuación de estado en (5) y considerando la
incertidumbre
en

el

nivel

de

los

tanques

a
través
del

politopo

(6)

se

obtiene

el

sistema
incierto
aumentado

de

seguimiento

de

la
referencia escal a escalón dado por
[
̇

] [
̈




] [

̇
] [


] ̇


La ecuación (9) puede expresarse de manera
compacta haciendo [
(9)
̇ ]

como
̇
̇


(10)
donde
la

influencia

de

la

incertidumbre

en

el
nivel de los tanques (4) se incorpora a través
de
las

matrices


con

el

índice


variando
dentro
de

los

diferentes

vértices

del

politopo
(6).
Para

regular

el

desempeño

temporal
transitorio
del

sistema

(10),

se

emplea

un
resultado
de

la

programación

convexa

[35],
[36], [37], [38] que permite obtener una ley de
control
por

realimentación

de

estado

de

la
forma ̇
para fijar los polos a lazo
cerrado
en

el

interior

de

una

región

LMI
deseada
(ver Fig. 3).
Teorema
1:

El

sistema

(10)

donde

la

matriz
de
estado


pertence

al

politopo

(6)

es
estabilizable
mediante

la

ley

de

control

de
realimentación de estado ̇
y los
polos a lazo cerrado se localizan en el interior
de la región LMI si y solo si existen
una matriz simétrica definida positiva
y
una

matriz


tales

que

para

los
vértices

las

siguientes
desigualdades
matriciales

lineales

son
satisfechas




(11)