Área = rc R Área = rc R Área = rc R Área = rc R2
Para "construir" el segmento Para "construir" el segmento Para "construir" el segmento Para "construir" el segmento
-jr, debería ser jr, debería ser jr, debería ser
"construible"
n no es expresable por raíces no es expresable por raíces no es expresable por raíces no es expresable por raíces no es expresable por raíces
cuadradas (= cuadradas (= ir no es algebraico no es algebraico no es algebraico
n es trascendente). es trascendente).
La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F. La trascendencia de n fue demostrada por F.
Lindeman (1852-1939) en 1882. Lindeman (1852-1939) en 1882. Lindeman (1852-1939) en 1882. Lindeman (1852-1939) en 1882.
La Duplicación del Cubo La Duplicación del Cubo La Duplicación del Cubo La Duplicación del Cubo
Volvamos al altar de Apolo: Volvamos al altar de Apolo: Volvamos al altar de Apolo: Volvamos al altar de Apolo: Volvamos al altar de Apolo:
Volumen: 1
213
Arista: I Arista: I
Volumen:
x3 = 2 = 2
x = x =J (no es J (no es J (no es construible)
La Trisección del Ángulo
Radio=1
Cada ángulo queda Cada ángulo queda Cada ángulo queda
caracterizado por su caracterizado por su caracterizado por su coseno:
r
180°-4x
r
Tekhne
- Revista de Ingeniería N Revista de Ingeniería N Revista de Ingeniería N Revista de Ingeniería N9 1 / 1996 1 / 1996 1 / 1996
(III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48) (III) En 1837, el francés Pierre Wantzel (1814-48)
obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para resolver una ecuación algebraica de coeficientes resolver una ecuación algebraica de coeficientes resolver una ecuación algebraica de coeficientes resolver una ecuación algebraica de coeficientes resolver una ecuación algebraica de coeficientes resolver una ecuación algebraica de coeficientes racionales con los instrumentos clásicos. racionales con los instrumentos clásicos. racionales con los instrumentos clásicos. racionales con los instrumentos clásicos. racionales con los instrumentos clásicos. En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con En particular, si una ecuación de Ser grado con
coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de coeficientes racionales no tiene raíz racional, ninguna de sus raíces es sus raíces es sus raíces es construible con instrumentos clásicos. con instrumentos clásicos. con instrumentos clásicos. La Cuadratura del Círculo
Radio: R Radio: R
Área:
3
Se sabe que: sabe que: cos 9 = 4 = 4
[cos!.) –3 cos
Osea:a=4x3- 3x no 3x no tiene
en
general. Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = Por ej.: si cp = 60° = a = cos 60° = 1
2
1
4 x 4 x3 - 3x = 2 - 3x = 2 - 3x = 2 - 3x = 2
8 x 8 x3 - 6x = 1 - 6x = 1 - 6x = 1 - 6x = 1
Cambiando variable: z = 2x Cambiando variable: z = 2x Cambiando variable: z = 2x Cambiando variable: z = 2x Cambiando variable: z = 2x
z3 - 3z = 1 - 3z = 1 - 3z = 1 - 3z = 1
(1)
(1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre
(1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre (1) no tiene raíces( raíz racional) Si z = r (r,s primos entre
sí)
r
s
-3 s =1 ó r 3 s =1 ó r 3 s =1 ó r 3 s =1 ó r 3 s =1 ó r3-3rs2=s3
a "s" a "s"
Contradicción
I.q.q.d.
Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por Utilizando curvas prohibidas —o trazadas por
instrumentos prohibidos— hay innumerables soluciones instrumentos prohibidos— hay innumerables soluciones instrumentos prohibidos— hay innumerables soluciones instrumentos prohibidos— hay innumerables soluciones instrumentos prohibidos— hay innumerables soluciones que trisecan un ángulo cualquiera. que trisecan un ángulo cualquiera. que trisecan un ángulo cualquiera. que trisecan un ángulo cualquiera. que trisecan un ángulo cualquiera. Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias Parece que la solución más antigua es la de Hippias
de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera de Elis (aprox. 420. A.C.) que triseca un ángulo cualquiera mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve mediante la "trisectriz" (o "cuadratriz" porque resuelve también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya también el problema de la cuadratura del círculo) cuya ecuación, en coordenadas polares, es ecuación, en coordenadas polares, es ecuación, en coordenadas polares, es ecuación, en coordenadas polares, es ecuación, en coordenadas polares, es
r=2a 0.cosecO.
Pappus, Descartes, Newton, Clairaut, Chaslesyotros Pappus, Descartes, Newton, Clairaut, Chaslesyotros Pappus, Descartes, Newton, Clairaut, Chaslesyotros Pappus, Descartes, Newton, Clairaut, Chaslesyotros Pappus, Descartes, Newton, Clairaut, Chaslesyotros
han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), han resuelto el problema (soluciones impuras, claro está), pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes pero la más elegante sigue siendo la de Arquímedes (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: (aprox. 287-212 A.C.), que es la que sigue: Sea ¿ABC = a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas a sobre la regla se hacen dos marcas
(prohibidas) que son (prohibidas) que son (prohibidas) que son M y N, tales que y N, tales que y N, tales que y N, tales que MN = MN = r.
s
a/3
O A B O A B O A B