Los tres problemas griegos (sin solución) Los tres problemas griegos (sin solución) Los tres problemas griegos (sin solución) Los tres problemas griegos (sin solución) Los tres problemas griegos (sin solución) Los tres problemas griegos (sin solución)
Luis Crespo Ostria* Luis Crespo Ostria* Luis Crespo Ostria*
I Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA Los TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGUA
MATEMÁTICA GRIEGA SON: MATEMÁTICA GRIEGA SON: MATEMÁTICA GRIEGA SON:
La cuadratura del círculo La cuadratura del círculo La cuadratura del círculo La cuadratura del círculo
La duplicación del cubo La duplicación del cubo La duplicación del cubo La duplicación del cubo
La trisección del ángulo La trisección del ángulo La trisección del ángulo La trisección del ángulo
Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse Se trata de construcciones que debían hacerse
utilizando únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás únicamente una regla sin marcas y un compás (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). (estos eran, según Platón, los instrumentos divinos). Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y Rectas y círculos eran considerados por los filósofos y matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser las cuales todas las demás construcciones deberían ser posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no posibles. Toda solución que utilice otras curvas que no sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par sean rectas ni circunferencias, o una regla con sólo un par de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o de marcas, eran consideradas "soluciones impuras" o "prohibidas". Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia Cuenta Filoponus que en el año 430A.C. una epidemia
de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de de fiebre tifoidea mató a la cuarta parte de la población de Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo, Atenas (incluido Pericles); consultado el dios Apolo,
respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla respondió por boca del oráculo de Delos (pequeña isla
sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos, sobre el Egeo, que no debe ser confundida con Delfos,
ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia ciudad de la antigua Grecia) que cesaría la epidemia
cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cuando hubieran cambiado u altar, que tenía forma cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los cúbica, por otro nuevo cuyo volumen fuera el doble. Los
atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas atenienses procedieron a construir un nuevo cubo cuyas
aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo aristas eran el doble de las anteriores, con lo que el nuevo
altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa altar tenía un volumen 8 veces mayor, provocando la justa
irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses irritación del dios Apolo. Desesperados los atenienses
recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si recurrieron al consejo de Platón, quien les hizo ver que si
el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo el 1 er cubo tenía aristas de longitud "a", el cubo nuevo
debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x debería tener arista "x" tal que x3 = 2 a = 2 a = 2 a3 (en notación (en notación
moderna x = moderna x = moderna x =
a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a" a). ¿ Será posible, dado el segmento "a"
obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x = obtener con regla sin marcas y compás el segmento x =
a?
Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que Hicieron falta más de 2.200 años para demostrar que
los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla los tres problemas son insolubles mediante el uso de regla sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sin marcas y compás solamente. El primero en expresar sus dudas fue Descartes en 1637. sus dudas fue Descartes en 1637. sus dudas fue Descartes en 1637. sus dudas fue Descartes en 1637. sus dudas fue Descartes en 1637. sus dudas fue Descartes en 1637. A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo A causa de la relación del 2° problema con el oráculo
de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona de Delos (hay otra versión de Eratóstenes que relaciona el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, el problema con otros personajes), aquél, y por extensión, los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas los otros dos, se conocen con el nombre de "problemas délicos". II ¿POR QUÉ ESTOS PROBLEMAS SON ESTOS PROBLEMAS SON ESTOS PROBLEMAS SON IRRESOLUBLES?
Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones Observemos en primer lugar que las construcciones
geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden geométricas con regla sin marcas y compás corresponden
a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y a operaciones racionales (suma, resta, multiplicación y
división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de división) entre segmentos y raíces cuadradas de
segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b" segmentos. Dados dos segmentos de longitudes "a" y "b"
(medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato medidos con un segmento "unidad" dado), es inmediato
construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n° construir a+b, a-b, ab, a/b a a (donde "r"es cualquier n°
racional). Para hallar racional). Para hallar racional). Para hallar
basta obtener la media basta obtener la media basta obtener la media basta obtener la media
proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres proporcional entre los segmentos "1" y "a". Dados tres
segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás segmentos a, b, x, con el auxilio de la regla y el compás
se puede construir a+b se puede construir a+b se puede construir a+b se puede construir a+b E (segmento E (segmento construible de 1 er de 1 er de 1 er
orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como orden). Aplicando regla y compás a segmentos como
a+b x, c+d a+b x, c+d a+b x, c+d
f
se construye fácilmente se construye fácilmente se construye fácilmente
a+b
+ (c+d + (c+d
)
de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más de 2° orden), y siguiendo de igual manera obtenemos más y más segmentos. y más segmentos. y más segmentos. Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter Pero, con este procedimiento sólo conseguimos meter
raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta raíces dentro de raíces cuadradas. ¡Lo que nunca resulta es una raíz cúbica! es una raíz cúbica! es una raíz cúbica! es una raíz cúbica!
Ing. Industrial de la Ing. Industrial de la Ing. Industrial de la Ing. Industrial de la Universidad Mayor de San Mayor de San Mayor de San Andrés, La Pa; La Pa;
Bolivia. Profesor, Facultad Profesor, Facultad de Ingeniería, Universidad Ingeniería, Universidad CatólicaAndré
Bello.